Basic Examples 
(5)
 

Create a set of polynomials:
In[48]:=
polys={x^2+3*y-2*z^4+7,5*x^2*y*z-4*y^2*z^2+3,x^2+y^2+z^3-6};
First compute its Groebner basis:
In[49]:=
gb1=GroebnerBasis[polys,{x,y,z}]
Out[49]=
{9-1890z+1205
2
z
+14820
3
z
+2794
4
z
-2756
5
z
+6198
6
z
-4256
7
z
-607
8
z
-130
9
z
-2324
10
z
+304
11
z
+64
12
z
+100
13
z
+200
14
z
,-174568722857469+32134376477706y+174412495017740z+1978174579982874
2
z
+338799254181097
3
z
-360676216949111
4
z
+836357857920969
5
z
-584758935888737
6
z
-68963401625500
7
z
-20615441826364
8
z
-309573453014396
9
z
+42730628534164
10
z
+7055457141820
11
z
+13177425497200
12
z
+26562952946000
13
z
,249548934638783+10711458825902
2
x
-174412495017740z-1978174579982874
2
z
-338799254181097
3
z
+339253299297307
4
z
-836357857920969
5
z
+584758935888737
6
z
+68963401625500
7
z
+20615441826364
8
z
+309573453014396
9
z
-42730628534164
10
z
-7055457141820
11
z
-13177425497200
12
z
-26562952946000
13
z
}
Compute the extended Groebner basis:
In[50]:=
{gb2,cmat}=
[◼]
ExtendedGroebnerBasis
[polys,{x,y,z}]
Out[50]=
{{9-1890z+1205
2
z
+14820
3
z
+2794
4
z
-2756
5
z
+6198
6
z
-4256
7
z
-607
8
z
-130
9
z
-2324
10
z
+304
11
z
+64
12
z
+100
13
z
+200
14
z
,-174568722857469+32134376477706y+174412495017740z+1978174579982874
2
z
+338799254181097
3
z
-360676216949111
4
z
+836357857920969
5
z
-584758935888737
6
z
-68963401625500
7
z
-20615441826364
8
z
-309573453014396
9
z
+42730628534164
10
z
+7055457141820
11
z
+13177425497200
12
z
+26562952946000
13
z
,249548934638783+10711458825902
2
x
-174412495017740z-1978174579982874
2
z
-338799254181097
3
z
+339253299297307
4
z
-836357857920969
5
z
+584758935888737
6
z
+68963401625500
7
z
+20615441826364
8
z
+309573453014396
9
z
-42730628534164
10
z
-7055457141820
11
z
-13177425497200
12
z
-26562952946000
13
z
},{{-45z-15yz+113
2
z
+975y
2
z
-400
2
y
2
z
+1140
3
z
-60y
3
z
-60
2
y
3
z
+208
4
z
-48y
4
z
-225
5
z
-75y
5
z
+580
6
z
-170y
6
z
+50
2
y
6
z
-136
7
z
-32
8
z
-100
10
z
,3-435z+80yz-88
2
z
+12y
2
z
+15
4
z
+64
5
z
-10y
5
z
+8
6
z
,45z-113
2
z
+1200y
2
z
-1140
3
z
+500y
3
z
-208
4
z
+48y
4
z
+225
5
z
-580
6
z
-150y
6
z
+136
7
z
-40y
7
z
+32
8
z
+100
10
z
},{15926908215185z+130275989040585yz-53557294129510
2
y
z+152243446089993
2
z
-10043547678483y
2
z
-7197744002550
2
y
2
z
+25622276783275
3
z
-5152326625065y
3
z
-348165578250
2
y
3
z
-28479789034230
4
z
-9872664025320y
4
z
-26012743950
2
y
4
z
+78251351237524
5
z
-22578510004100y
5
z
+6640738236500
2
y
5
z
-19588443609652
6
z
-3553741314860
7
z
+52025487900
8
z
-13281476473000
9
z
,-58189574285823+10711458825902y-10879103926555z+1439548800510yz-330073062345
2
z
+69633115650y
2
z
+1903218666174
3
z
+5202548790y
3
z
+8495982903688
4
z
-1328147647300y
4
z
+1062518117840
5
z
,-15926908215185z+160671882388530yz-152243446089993
2
z
+64439067311258y
2
z
-25622276783275
3
z
+6802691936790y
3
z
+28479789034230
4
z
+356570694450y
4
z
-78251351237524
5
z
-19901404514340y
5
z
+19588443609652
6
z
-5312590589200y
6
z
+3553741314860
7
z
-52025487900
8
z
+13281476473000
9
z
},{10711458825902-15926908215185z-130275989040585yz+53557294129510
2
y
z-152243446089993
2
z
+10043547678483y
2
z
+7197744002550
2
y
2
z
-25622276783275
3
z
+5152326625065y
3
z
+348165578250
2
y
3
z
+28479789034230
4
z
+9872664025320y
4
z
+26012743950
2
y
4
z
-78251351237524
5
z
+22578510004100y
5
z
-6640738236500
2
y
5
z
+19588443609652
6
z
+3553741314860
7
z
-52025487900
8
z
+13281476473000
9
z
,58189574285823-10711458825902y+10879103926555z-1439548800510yz+330073062345
2
z
-69633115650y
2
z
-1903218666174
3
z
-5202548790y
3
z
-8495982903688
4
z
+1328147647300y
4
z
-1062518117840
5
z
,15926908215185z-160671882388530yz+152243446089993
2
z
-64439067311258y
2
z
+25622276783275
3
z
-6802691936790y
3
z
-28479789034230
4
z
-356570694450y
4
z
+78251351237524
5
z
+19901404514340y
5
z
-19588443609652
6
z
+5312590589200y
6
z
-3553741314860
7
z
+52025487900
8
z
-13281476473000
9
z
}}}
Check that the bases agree up to a constant factor:
In[51]:=
Together[gb1/gb2]
Out[51]=
{1,1,1}
Check the conversion matrix identity:
In[52]:=
Expand[cmat.polys-gb2]
Out[52]=
{0,0,0}

Scope 
(3)
 


Properties and Relations 
(7)
 


Possible Issues 
(1)
 
